En muchos pasajes de los diálogos de Platón aparece Sócrates demostrando que aprendemos por la reminiscencia, por el recuerdo. Que no aprendemos por descubrimiento sino por recuerdo es algo que tiene tela. ¿Qué pasa? ¿que sabíamos todo y nos lo habíamos olvidado? Aunque en esto Sócrates y Platón coinciden con místicos de ayer y de hoy, de Oriente y Occidente, la mayor parte de la gente tal vez no está de acuerdo. En el diálogo del mismo nombre, Menón es el anfitrión de Sócrates, y tampoco se traga eso de que aprender es en realidad recordar. Así que pide a su invitado que lo demuestre. En muchas pasajes de varias obras, Sócrates hace demostraciones varias, pero en esta ocasión la prueba vendrá a través de las matemáticas y de un esclavo al que nadie le ha enseñado matemáticas nunca pero que resulta ser un fiera en cuanto se pone al tajo. Una esperanza para los que somos torpes con las matemáticas y un grito antiguo contra los abusones que intentan justificar en base a una supuesta superioridad sus abusos sobre los demás. Añado aquí una presentación de las figuras de las que se habla para facilitarnos la comprensión a los que somos lentos en mates. A continuación de esta presentación tienes a Sócrates asumiendo el reto y pidiendo la presencia del esclavo.
PlatóN, MenóN
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Sócrates: Eso no es fácil; pero en tu obsequio haré lo que me sea posible. Llama a alguno de los muchos esclavos que están a tu servicio, el que quieras, para que te demuestre en él lo que deseas.
Menón: Con gusto. Ven aquí.
Sócrates: ¿Es griego y sabe el griego?
Menón: Muy bien, como que ha nacido en casa.
Sócrates: Atiende y observa si el esclavo recuerda o aprende de mí.
Menón: Fijaré mi atención.
Sócrates: Dime, joven: ¿sabes que esto es un cuadrado?
Esclavo: Sí.
Sócrates: El espacio cuadrado ¿no es aquel que tiene iguales las cuatro líneas que ves?
Esclavo: Seguramente.
Comentario: Nótese que el esclavo sabe algo --lo que es un cuadrado-- aunque no tenga ni idea de a dónde quiere llegar Sócrates, el partero.
Sócrates: ¿No tiene también estas otras líneas, tiradas por la mitad, iguales?
Esclavo: Sí, Sócrates.
Comentario: En ésta y en la siguiente pregunta Sócrates está induciendo la respuesta, es decir, estaría haciendo trampa. Sin embargo, didácticamente es válido. Estaría usando el concepto cognitivo de andamiaje o andamio, debido a Jerome Bruner (¿leería Sócrates a Bruner? ).
Sócrates: Pero como este otro lado es igualmente de dos pies, ¿no tendrá el espacio dos veces dos?
Esclavo: Sí
Comentario: Nótese también que Sócrates está usando, de hecho, le está enseñando al esclavo, el concepto de área.
Sócrates: Y ¿cuánto son dos veces dos? Cuéntalos y dime.
Esclavo: Cuatro, Sócrates.
Comentario: El esclavo sabe algo. Sabe contar.
Sócrates: Y, ¿no podría formarse el doble que éste y del todo semejante, teniendo como él todas sus líneas iguales?
Esclavo: Sí.
Sócrates: ¿Cuántos pies tendría?
Esclavo: Ocho pies.
Comentario: De hecho, el esclavo sabe la tabla del dos.
Sócrates: Vamos, procura decirme cuál es la longitud de cada línea de este otro cuadrado. Las de éste son de dos pies. ¿De cuánto serán las del cuadro doble?
Esclavo: Es evidente, Sócrates, que serán dobles.
Comentario: En este momento, el esclavo ha caído en la trampa de su propio razonamiento lineal. Si bien, hay que decir en su favor, con la ayuda de Sócrates. Es lo que Sócrates quería y esperaba como se puede ver en la continuación del diálogo. Hay que decir, además, que Sócrates goza de la ventaja que le ofrece la paciencia y la atención concentrada de su alumno. Un estudiante de nuestro tiempo ya le hubiera mentado la madre a Sócrates quien se toma todo el tiempo del mundo para enseñar.
Sócrates: Ya ves, Menón, que yo no le he enseñado nada de todo esto y que no hago más que interrogarle. El imagina ahora saber cuál es la línea con que debe formarse el espacio de ocho pies. ¿No te parece así?
Menón: Sí.
Sócrates: Y ¿realmente lo sabe?
Menón: Ciertamente no.
Sócrates: El sólo conjetura que, debido a que el cuadrado es doble, la línea es doble.
Menón: Cierto.
Comentario: En este momento, Sócrates va a proceder a, en primer lugar, convencer al esclavo de que realmente no sabe la respuesta y, en segundo lugar, lo conducirá a ella.
Sócrates: Obsérvale a medida que él va recordando. (Al esclavo) Dime muchacho, tú aseguras que un espacio doble proviene de una línea doble. Recuerda que no estoy hablando de un espacio largo por esta parte y estrecho por aquélla, sino de una figura igual en cada sentido y dos veces el tamaño de esta, es decir, de ocho pies; y yo quiero saber si tú todavía crees que se forma con una línea doble.
Esclavo: Sí.
Comentario: Sócrates hace precisiones (define lo que es un cuadrado) para asegurarse de que el esclavo ha entendido adecuadamente la pregunta. Sin embargo, un formalista contemporáneo le criticaría a Sócrates que con cuatro líneas iguales también se puede formar un rombo en cuyo caso el área no es lado por lado como la del cuadrado. Pero si Sócrates dibujaba en la arena o en la pizarra una figura que parecía un cuadrado, ciertamente tenía en mente un cuadrado y no un rombo. En todo caso, habría que decir en favor de Sócrates que en una situación didáctica se trata de crear credibili-dad, es una situación argumentativa, de lógica sí, pero no de lógica formal. Nótese, además, que el esclavo no duda, es intelectualmente honesto. Esto no sucede con los estudiantes reales de nuestro tiempo mexicano cuyas respuestas están orientadas generalmente a ocultar lo que creen o piensan. Un estudiante contemporáneo hubiese "maliciado", con la última pregunta de Sócrates, que su respuesta debe ser no y hubiese dicho algo así como: " Bueno, mire profe, es que yo lo veo así como que no pero, ... la verdad, profe ... bueno (pasando a la agresividad) pero a final de cuentas todo esto ¿para qué se aplica? Además, ¿por qué no nos dice de una vez cuál es la respuesta y nos dejamos de mamadas?"
Sócrates: Pero,¿no es cierto que ésta línea se dobla si añadimos otra igual aquí?
Esclavo: Ciertamente.
Comentario: Sócrates intenta conducir al esclavo a reconocer que lo que creía saber no puede ser cierto (vía una contradicción). Así pues, Sócrates supone que el esclavo estaría dotado (como lo está, según se ve a continuación) de una lógica elemental. Es remarcable la tenacidad intelectual del esclavo al ser consistente con la hipótesis de que lo que acaba de afirmar es cierto, hipótesis a la cual se aferra hasta el último momento.
Sócrates: Y ¿cuatro de tales líneas contendrían un espacio de ocho pies?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Describamos tal figura. ¿No dirías que esta es la figura de ocho pies?
Esclavo: Sí, Sócrates.
Sócrates: ¿Y no hay estas cuatro divisiones en la figura, cada una de las cuales es igual a la figura de cuatro pies?
Esclavo: Cierto.
Sócrates: ¿Y no es esto cuatro veces cuatro?
Esclavo: Ciertamente.
Sócrates: ¿Y cuatro veces no es el doble?
Esclavo: No, en verdad.
Sócrates: Pero entonces ¿cuánto es?
Esclavo: El cuadruple.
Sócrates: Por tanto, la línea doble, muchacho, ha dado un espacio, no del doble, sino del cuadruple.
Comentario: Sócrates remacha con esta afirmación las cuatro preguntas anteriores. Es resumen y consecuencia de ellas. Estaría orientada a que al esclavo no le quedara más que reconocer que su hipótesis era falsa. Nótese el esquema del modus tollendo tollens que queda implícita: 1)línea doble implica espacio doble, pero 2)el espacio no es doble sino cuadrúple; por tanto, 3) la línea no puede ser doble. Esta es la lógica que, al menos a nivel intuitivo, Sócrates espera en el razonamiento del esclavo. ¿Podemos suponerla en nuestros estudiantes? (Las siguientes preguntas se orientan a un refuerzo adicional, como dándole tiempo al esclavo a reconocer plenamente su error. Sócrates no tiene prisa.)
Esclavo: Cierto.
Sócrates: Y cuatro veces cuatro son 16 --¿o no?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Qué línea te daría un espacio de ocho pies, al igual que ésta da uno de 16 pies --¿lo ves?
Comentario: Sócrates refuerza la evidencia de que si l=4 entonces A=16 y no 8.
Esclavo: Sí.
Sócrates: El espacio de cuatro pies está formado a partir de esta semilínea(mitad de línea).
Esclavo: Sí.
Sócrates: Bien: ¿y no es un espacio de ocho pies dos veces el tamaño de éste, y la mitad del tamaño del otro?
Esclavo: Ciertamente.
Sócrates: Tal espacio entonces ¿estaría formado por una línea mayor que ésta y menor que aquella otra?
Esclavo: Sí, así lo creo.
Comentario: El esclavo empieza a dudar. Y no sin razón, pues éste es un hueso duro de roer para cualquier estudiante. Sócrates tendría en mente más o menos esta idea: al aumentar el lado desde 2 hasta 4, el espacio aumentaría desde 4 hasta 16 y, así, el 8 se logrará con algún lado entre 2 y 4. En esta idea está implícito el conocido teorema "del valor intermedio" del cálculo infinitésimal que se cumple para funciones continuas: si f(2)=4 y f(4)=16, entonces debe haber una x entre 2 y 4 para la cual f(x)=8. ¿Está este razonamiento, en forma natural, dentro de la mente humana? ¿debería tomar el esclavo primero un curso de lógica formal? ¿Qué hacer? ¿Que la lógica se aprenda sobre la marcha? Veamos qué hace Sócrates.
Sócrates: Muy bien; quisiera oirte decir lo que piensas. Y ahora dime, ¿no es esta línea de dos pies y ésta de cuatro?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Entonces la línea que forma el lado de ocho pies debería ser mayor que esta línea de dos pies, y menor que la otra de cuatro pies?
Esclavo: Debería.
Comentario: Nótese que Sócrates no pierde el entusiamo, acaso fingiendo no ver la cara de perplejidad del esclavo. Un profesional debe actuar con seguridad (aunque tenga que fingir). Nótese también cómo Sócrates es redundante sobre el argumento más dificultoso al repetir una pregunta anterior poniéndola ligeramente diferente.
Sócrates: Trata de ver si puedes decirme de cuánto será.
Esclavo: Tres pies, Sócrates.
Comentario: El esclavo agarró rienda y eso ya es un avance. Por lo menos no se ha bloqueado. Sócrates está pidiendo una conjetura y el esclavo le ofrece la más sencilla razonando dentro de los números naturales: 3 es el único natu- ral entre 2 y 4. ¿Qué contestaría un adolescente de nuestro tiempo al ser presionado por su maestro? Se deja como ejercicio conjetural para el lector. Que conteste de acuerdo a su propia experiencia. Yo siento que podría ser más o menos esto: "profe, ¿formamos un equipo de discusión para responderle?" (El trabajo en equipo no puede ser malo como lo ha aprendido desde la primaria.)
Sócrates: Entonces, si añadimos una mitad a esta línea de dos, ésta será la línea de tres. Aquí hay dos y allá uno; y en el otro lado aquí hay dos también y allí uno, ¿y esto hace la figura de la cual tú hablas?
Esclavo: Sí.
Comentario:Nótese que no es casual la elección de Sócrates de un cuadrado inicial de 2x2. Se siente que esta rutina mayéutica particular estaba planeada didácticamente. Si hubiese elegido, por ejemplo, un cuadrado inicial de 3x3, en este punto Sócrates y el esclavo habrían tenido grandes dificultades manejando números fraccionarios: 3/2=1.5, 3+1.5=4.5,
y 4.5x4.5=?. Sócrates sigue aquí la conocida regla del profesor de matemáticas: los problemas fáciles para el pizarrón, los difíciles se dejan como ejercicio para el estudiante. Una regla humorística que no carece de su principio didáctico: ni al alumno y menos al profesor les conviene enmarañarse en detalles secundarios respecto al objetivo de aprendizaje.
Sócrates: Pero si hay tres pies en esta dirección y tres pies en esta otra, el espacio total será tres veces tres.
Esclavo: Eso es evidente.
Comentario: A estas alturas del diálogo, el esclavo ya habría aprendido el algoritmo (fórmula) para obtener el área de un cuadrado. Y este algoritmo es un subproducto del proceso didáctico elaborado por Sócrates. Afortunadamente a Sócrates nunca lo obligaron a leer a Bloom. ¿Cómo desglosaría, en objetivos, subobjetivos, acciones, etcetera etcetera, un experto contemporáneo en didáctica este fragmento mayéutico? Se deja como penitencia para quien haya pecado de asistematicidad didáctica.
Sócrates: Y ¿cuántos son tres veces tres pies?
Esclavo: Nueve.
Sócrates: Y ¿cuánto es el doble de cuatro?
Esclavo: Ocho.
Sócrates: Entonces la figura de ocho no está formada por una línea de tres.
Esclavo: No.
Comentario: Con las dos preguntas anteriores Sócrates recalca al esclavo que su nueva hipótesis tampoco lleva al resultado deseado. Es decir, le hace ver que su nueva hipótesis (respuesta) es también falsa.
Sócrates: Pero entonces ¿de que línea está formada? --dímelo exactamente; y si tú prefieres no calcular, trata de mostrarme la línea.
Esclavo: La verdad, Sócrates, no lo sé.
Sócrates: ¿Ves, Menón, qué avances ha hecho el esclavo en el camino de la reminiscencia. No sabía al principio cuál era la línea con que se forma el espacio de ocho pies, como no lo sabe ahora; pero antes creía saberlo, y respondió con confianza como si lo supiese; y no creía ser ignorante en este punto. Ahora reconoce su embarazo, y no lo sabe; pero tampoco cree saberlo.
Menón: Dices verdad.
Comentario: ¿Dónde está ese Sócrates para el que dice saber cómo? Nuestro tiempo mexicano lo requiere con urgencia. Sócrates, en este punto del diálogo, distingue dos formas de ignorancia: una es no consciente (al menos no reconocida, ¿dónde la hemos visto, sentido, sufrido?), la otra es ignorancia consciente, reconocida. Y asegura que, en el camino hacia el conocimiento, la segunda es mejor que la primera.
Sócrates: ¿No está ahora en mejor posición, al conocer su ignorancia, respecto de la cosa que él ignoraba?
Menón: Así me lo parece.
Sócrates: Si lo he hecho dudar, y le he aplicado el shock del torpedo, ¿le hemos hecho algún daño?
Menón: Yo pienso que no.
Sócrates: Por el contrario, le hemos ayudado en algún grado, a mi parecer, en el descubrimiento de la verdad; y ahora él deseará remediar su ignorancia, mientras que antes él hubiera dicho con gran desenfado, delante de todo el mundo y creyendo explicarse perfectamente, que el espacio doble debería tener un lado doble.
Menón: Así sería.
Comentario: La superioridad de la segunda forma de ignorancia comentada antes (ignorancia consciente) consistiría entonces en un deseo de remediar la ignorancia, es decir, un deseo de aprender. Algo que suena lógico. Pues no se deseará aprender si no se reconoce la ignorancia. Creo, no obstante, que una cierta pedagogía contemporánea --y sin embargo, tecnocráticamente dominante-- se rasgaría las vestiduras ante este proceder socrático, acusándolo de discriminatorio, de ejercer una cierta "violencia" sobre el alumno. Y, para no contrar, cediendo ante esa "verdad" cuasi-oficial los maestros acaso dirían: "si sabe o no sabe es muy su pedo, yo no me meto en broncas". ¿Que se puede hacer contra el experto que no sabe que no sabe? ¿Cómo puede percatarse el sonámbulo que realmente está dormido? ¿Alguien ha visto a un experto despertarse a mitad de su discurso? ¿Acaso todos somos sonámbulos incluyendo al experto del aquí y ahora del aula de todos los días?
Sócrates: ¿Piensas que él hubiera intentado indagar o aprender lo que creía saber ya, aunque no lo supiese, antes de quedar perplejo ante la idea de que no sabía?
Menón: Yo pienso que no, Sócrates.
Sócrates: ¿El adormecimiento le ha sido pues ventajoso?
Menón: Me parece que sí.
Sócrates: Repara ahora cómo, partiendo de esta duda, va a descubrir la cosa indagando conmigo; aunque no haré más que interrogarle, sin enseñarle nada. Observa bien por si llegas a sorprenderme enseñándole o explicándole algo; en una palabra, haciendo otra cosa que preguntarle lo que piensa. --Tú, esclavo, dime: ¿no es este espacio que he dibujado de cuatro pies?
Esclavo: Sí.
Sócrates: ¿No puede añadírsele este otro espacio que es igual?
Esclavo: Sí.
Sócrates: ¿Y este tercero que es igual a los otros dos
Esclavo: Sí.
Sócrates: Para completar el cuadro, ¿no podremos, en fin, colocar este otro en éste ángulo?
Esclavo: Sin duda.
Sócrates: ¿No resultan así cuatro espacios iguales entre sí?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Pero, ¿qué es todo este espacio, respecto de este otro?
Esclavo: Es cuádruplo.
Sócrates: Pero lo que necesitamos es formar uno doble, ¿no te acuerdas?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Esta línea que va de un ángulo a otro, ¿no es cierto que biseca cada uno de esos espacios?
Comentario: Aquí se puede suponer que Sócrates apela a las apariencias. Porque el esclavo no sabe geometría, ni Sócrates aporta una prueba de bisección. (La recomendación de Polya es que, en el proceso didáctico, las demostraciones no necesitan ser formales, sólo necesitan ser plausibles.) Nota: En la versión de Porrúa dice "corta en dos", pero debe ser "biseca", con el significado más preciso de "corta en dos partes iguales", como lo dice el Plato de los Great Books de la Britannica.
Esclavo: Sí.
Sócrates: ¿No ves aquí cuatro líneas iguales que encierran este espacio?
Esclavo: Así es, Sócrates.
Sócrates: Mira y dime. ¿De cuánto es este espacio?
Esclavo: No entiendo, Sócrates.
Comentario: Hay que reconocer que el esclavo es el alumno ideal: es intelectualmente honesto y ha podido mantener la atención casi una hora. ¡Ánimo Sócrates! El muchacho necesita un andamio. La respuesta ya está cerca. Sólo ayúdale un poquito más.
Sócrates: ¿No es cierto que cada línea interior corta a la mitad los cuatro espacios?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Y ¿cuántos semiespacios hay en esta sección?
Esclavo: Cuatro.
Comentario: Sócrates le mostraría aquí al esclavo el cuadrado central formado por las diagonales de los cuatro cuadrados de área 4 yuxtapuestos de forma que se tenga un cuadrado de 4x4. Nótese que esto ya lo había aceptado el esclavo antes. Es común, en el proceso comunicativo, que el oyente del discurso no mantenga toda la información en memoria RAM. Sócrates tendría este plan: 1) la diagonal biseca al cuadrado; 2)el área del cuadrado es cuatro; 3) la mitad de cuatro es dos; 4) el cuadrado formado por las cuatro diagonales está formado por cuatro mitades, es decir, por cuatro veces dos, y el muchacho llegaría finalmente a la demostración.
Sócrates: Y ¿cuántos en ésta?
Esclavo: Dos.
Sócrates: Y ¿cuatro es cuántas veces dos?
Esclavo: Dos veces.
Sócrates: Y este espacio ¿de cuántos pies es?
Esclavo: De ocho pies.
Comentario: Parece ser que Sócrates trata de inducir el razonamiento a través de una regla de tres (2/4=4/x): éste que tiene dos mitades "mide" 4, entonces el central que tiene 4 mitades (el doble de mitades) debe "medir" el doble, es decir, 8. El esclavo, aquí, estaría demostrando (para nosotros, los lectores) que la regla de tres es "natural", o bien que la había aprendido en casa de Menón. Y uno no puede menos que concluir que, o bien la educación de los esclavos en la Antigua Grecia era mejor que la de nuestros universitarios, o bien éstos ya perdieron para siempre su "naturaleza" en los laberintos de nuestro sistema educativo.
Sócrates: Y ¿de qué línea logras esta figura?
Esclavo: De ésta.
Comentario: Se entiende que Sócrates le estaría mostrando el cuadrado formado por las diagonales al esclavo, y éste contesta señalando la diagonal.
Sócrates: Esto es, de la línea que va de esquina a esquina de la figura de 4 pies.
Esclavo: Sí.
Comentario: Sócrates redondea: hace explícita con sus propias palabras la conclusión. Una regla didáctica que también recomienda Geoge Polya. Lástima que no sea factible con nuestros estudiantes quienes a estas alturas del diálogo ya hubieran dejado a Sócrates hablando solo.
Sócrates: Y esta es la línea que los geómetras llaman la diagonal. Y si este es el nombre apropiado, entonces tú, esclavo de Menón, ¿estás preparado para afirmar que el espacio doble es el cuadrado de la diagonal?
Esclavo: Ciertamente, Sócrates.
COMENTARIO FINAL AL TEXTO
Con esta larguísima demostración, Sócrates aporta también un método de construcción con regla y compás para el cuadrado doble: 1)formar un cuadrado cuádruple (yuxtaponiendo cuatro cuadrados de área A) y 2) trazar las diagonales de los cuatro cuadrados que lo forman. [El cuadrado formado por las diagonales trazadas en 2) tiene 2A de área.]
Mediante la simbología y las reglas del álgebra elementales que los estudiantes ya deberían dominar al salir de la secundaria, la demostración de Sócrates podría resumirse como sigue:
1) A=l2
2) 2A=?
3) Primera hipótesis del esclavo: 2A=(2l)2.
4) Refutación de Sócrates (vía un feedback didáctico): pero, (2l)2=4l2=4A, exhibiendo una contradicción y obligando al esclavo a abandonar su primera hipótesis.
5) Andamio para el esclavo (construido por Sócrates): si l da A y 2l da 4A, ¿entonces?... y el esclavo es conducido por Sócrates a concluir que la línea x buscada está entre l y 2l.
6) Segunda hipótesis del esclavo: 2A=[(3/2)l]2, es decir, x=(3/2)l.
7) Feedback de Sócrates: pero [(3/2)l]2=(9/4)l2=(9/4)A>2A, exhibiendo de nuevo una contradicción y obligando al esclavo a confesar su ignorancia.
8) A partir de aquí, Sócrates conduce al esclavo a aceptar que 4(A/2)=2A mediante el cuadrado cuádruple y las diagonales, y de paso a aceptar que la línea del cuadrado doble es la diagonal del cuadrado simple. Es decir, x=(2)1/2l, en lenguaje algebraico.
Fuente: Centro de Investigación en Matemáticas, A. P. 402, Guanajuato, Gto., C.P. 36000, M E X I C O
Menón: Con gusto. Ven aquí.
Sócrates: ¿Es griego y sabe el griego?
Menón: Muy bien, como que ha nacido en casa.
Sócrates: Atiende y observa si el esclavo recuerda o aprende de mí.
Menón: Fijaré mi atención.
Sócrates: Dime, joven: ¿sabes que esto es un cuadrado?
Esclavo: Sí.
Sócrates: El espacio cuadrado ¿no es aquel que tiene iguales las cuatro líneas que ves?
Esclavo: Seguramente.
Comentario: Nótese que el esclavo sabe algo --lo que es un cuadrado-- aunque no tenga ni idea de a dónde quiere llegar Sócrates, el partero.
Sócrates: ¿No tiene también estas otras líneas, tiradas por la mitad, iguales?
Esclavo: Sí, Sócrates.
Comentario: En ésta y en la siguiente pregunta Sócrates está induciendo la respuesta, es decir, estaría haciendo trampa. Sin embargo, didácticamente es válido. Estaría usando el concepto cognitivo de andamiaje o andamio, debido a Jerome Bruner (¿leería Sócrates a Bruner? ).
Sócrates: Pero como este otro lado es igualmente de dos pies, ¿no tendrá el espacio dos veces dos?
Esclavo: Sí
Comentario: Nótese también que Sócrates está usando, de hecho, le está enseñando al esclavo, el concepto de área.
Sócrates: Y ¿cuánto son dos veces dos? Cuéntalos y dime.
Esclavo: Cuatro, Sócrates.
Comentario: El esclavo sabe algo. Sabe contar.
Sócrates: Y, ¿no podría formarse el doble que éste y del todo semejante, teniendo como él todas sus líneas iguales?
Esclavo: Sí.
Sócrates: ¿Cuántos pies tendría?
Esclavo: Ocho pies.
Comentario: De hecho, el esclavo sabe la tabla del dos.
Sócrates: Vamos, procura decirme cuál es la longitud de cada línea de este otro cuadrado. Las de éste son de dos pies. ¿De cuánto serán las del cuadro doble?
Esclavo: Es evidente, Sócrates, que serán dobles.
Comentario: En este momento, el esclavo ha caído en la trampa de su propio razonamiento lineal. Si bien, hay que decir en su favor, con la ayuda de Sócrates. Es lo que Sócrates quería y esperaba como se puede ver en la continuación del diálogo. Hay que decir, además, que Sócrates goza de la ventaja que le ofrece la paciencia y la atención concentrada de su alumno. Un estudiante de nuestro tiempo ya le hubiera mentado la madre a Sócrates quien se toma todo el tiempo del mundo para enseñar.
Sócrates: Ya ves, Menón, que yo no le he enseñado nada de todo esto y que no hago más que interrogarle. El imagina ahora saber cuál es la línea con que debe formarse el espacio de ocho pies. ¿No te parece así?
Menón: Sí.
Sócrates: Y ¿realmente lo sabe?
Menón: Ciertamente no.
Sócrates: El sólo conjetura que, debido a que el cuadrado es doble, la línea es doble.
Menón: Cierto.
Comentario: En este momento, Sócrates va a proceder a, en primer lugar, convencer al esclavo de que realmente no sabe la respuesta y, en segundo lugar, lo conducirá a ella.
Sócrates: Obsérvale a medida que él va recordando. (Al esclavo) Dime muchacho, tú aseguras que un espacio doble proviene de una línea doble. Recuerda que no estoy hablando de un espacio largo por esta parte y estrecho por aquélla, sino de una figura igual en cada sentido y dos veces el tamaño de esta, es decir, de ocho pies; y yo quiero saber si tú todavía crees que se forma con una línea doble.
Esclavo: Sí.
Comentario: Sócrates hace precisiones (define lo que es un cuadrado) para asegurarse de que el esclavo ha entendido adecuadamente la pregunta. Sin embargo, un formalista contemporáneo le criticaría a Sócrates que con cuatro líneas iguales también se puede formar un rombo en cuyo caso el área no es lado por lado como la del cuadrado. Pero si Sócrates dibujaba en la arena o en la pizarra una figura que parecía un cuadrado, ciertamente tenía en mente un cuadrado y no un rombo. En todo caso, habría que decir en favor de Sócrates que en una situación didáctica se trata de crear credibili-dad, es una situación argumentativa, de lógica sí, pero no de lógica formal. Nótese, además, que el esclavo no duda, es intelectualmente honesto. Esto no sucede con los estudiantes reales de nuestro tiempo mexicano cuyas respuestas están orientadas generalmente a ocultar lo que creen o piensan. Un estudiante contemporáneo hubiese "maliciado", con la última pregunta de Sócrates, que su respuesta debe ser no y hubiese dicho algo así como: " Bueno, mire profe, es que yo lo veo así como que no pero, ... la verdad, profe ... bueno (pasando a la agresividad) pero a final de cuentas todo esto ¿para qué se aplica? Además, ¿por qué no nos dice de una vez cuál es la respuesta y nos dejamos de mamadas?"
Sócrates: Pero,¿no es cierto que ésta línea se dobla si añadimos otra igual aquí?
Esclavo: Ciertamente.
Comentario: Sócrates intenta conducir al esclavo a reconocer que lo que creía saber no puede ser cierto (vía una contradicción). Así pues, Sócrates supone que el esclavo estaría dotado (como lo está, según se ve a continuación) de una lógica elemental. Es remarcable la tenacidad intelectual del esclavo al ser consistente con la hipótesis de que lo que acaba de afirmar es cierto, hipótesis a la cual se aferra hasta el último momento.
Sócrates: Y ¿cuatro de tales líneas contendrían un espacio de ocho pies?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Describamos tal figura. ¿No dirías que esta es la figura de ocho pies?
Esclavo: Sí, Sócrates.
Sócrates: ¿Y no hay estas cuatro divisiones en la figura, cada una de las cuales es igual a la figura de cuatro pies?
Esclavo: Cierto.
Sócrates: ¿Y no es esto cuatro veces cuatro?
Esclavo: Ciertamente.
Sócrates: ¿Y cuatro veces no es el doble?
Esclavo: No, en verdad.
Sócrates: Pero entonces ¿cuánto es?
Esclavo: El cuadruple.
Sócrates: Por tanto, la línea doble, muchacho, ha dado un espacio, no del doble, sino del cuadruple.
Comentario: Sócrates remacha con esta afirmación las cuatro preguntas anteriores. Es resumen y consecuencia de ellas. Estaría orientada a que al esclavo no le quedara más que reconocer que su hipótesis era falsa. Nótese el esquema del modus tollendo tollens que queda implícita: 1)línea doble implica espacio doble, pero 2)el espacio no es doble sino cuadrúple; por tanto, 3) la línea no puede ser doble. Esta es la lógica que, al menos a nivel intuitivo, Sócrates espera en el razonamiento del esclavo. ¿Podemos suponerla en nuestros estudiantes? (Las siguientes preguntas se orientan a un refuerzo adicional, como dándole tiempo al esclavo a reconocer plenamente su error. Sócrates no tiene prisa.)
Esclavo: Cierto.
Sócrates: Y cuatro veces cuatro son 16 --¿o no?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Qué línea te daría un espacio de ocho pies, al igual que ésta da uno de 16 pies --¿lo ves?
Comentario: Sócrates refuerza la evidencia de que si l=4 entonces A=16 y no 8.
Esclavo: Sí.
Sócrates: El espacio de cuatro pies está formado a partir de esta semilínea(mitad de línea).
Esclavo: Sí.
Sócrates: Bien: ¿y no es un espacio de ocho pies dos veces el tamaño de éste, y la mitad del tamaño del otro?
Esclavo: Ciertamente.
Sócrates: Tal espacio entonces ¿estaría formado por una línea mayor que ésta y menor que aquella otra?
Esclavo: Sí, así lo creo.
Comentario: El esclavo empieza a dudar. Y no sin razón, pues éste es un hueso duro de roer para cualquier estudiante. Sócrates tendría en mente más o menos esta idea: al aumentar el lado desde 2 hasta 4, el espacio aumentaría desde 4 hasta 16 y, así, el 8 se logrará con algún lado entre 2 y 4. En esta idea está implícito el conocido teorema "del valor intermedio" del cálculo infinitésimal que se cumple para funciones continuas: si f(2)=4 y f(4)=16, entonces debe haber una x entre 2 y 4 para la cual f(x)=8. ¿Está este razonamiento, en forma natural, dentro de la mente humana? ¿debería tomar el esclavo primero un curso de lógica formal? ¿Qué hacer? ¿Que la lógica se aprenda sobre la marcha? Veamos qué hace Sócrates.
Sócrates: Muy bien; quisiera oirte decir lo que piensas. Y ahora dime, ¿no es esta línea de dos pies y ésta de cuatro?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Entonces la línea que forma el lado de ocho pies debería ser mayor que esta línea de dos pies, y menor que la otra de cuatro pies?
Esclavo: Debería.
Comentario: Nótese que Sócrates no pierde el entusiamo, acaso fingiendo no ver la cara de perplejidad del esclavo. Un profesional debe actuar con seguridad (aunque tenga que fingir). Nótese también cómo Sócrates es redundante sobre el argumento más dificultoso al repetir una pregunta anterior poniéndola ligeramente diferente.
Sócrates: Trata de ver si puedes decirme de cuánto será.
Esclavo: Tres pies, Sócrates.
Comentario: El esclavo agarró rienda y eso ya es un avance. Por lo menos no se ha bloqueado. Sócrates está pidiendo una conjetura y el esclavo le ofrece la más sencilla razonando dentro de los números naturales: 3 es el único natu- ral entre 2 y 4. ¿Qué contestaría un adolescente de nuestro tiempo al ser presionado por su maestro? Se deja como ejercicio conjetural para el lector. Que conteste de acuerdo a su propia experiencia. Yo siento que podría ser más o menos esto: "profe, ¿formamos un equipo de discusión para responderle?" (El trabajo en equipo no puede ser malo como lo ha aprendido desde la primaria.)
Sócrates: Entonces, si añadimos una mitad a esta línea de dos, ésta será la línea de tres. Aquí hay dos y allá uno; y en el otro lado aquí hay dos también y allí uno, ¿y esto hace la figura de la cual tú hablas?
Esclavo: Sí.
Comentario:Nótese que no es casual la elección de Sócrates de un cuadrado inicial de 2x2. Se siente que esta rutina mayéutica particular estaba planeada didácticamente. Si hubiese elegido, por ejemplo, un cuadrado inicial de 3x3, en este punto Sócrates y el esclavo habrían tenido grandes dificultades manejando números fraccionarios: 3/2=1.5, 3+1.5=4.5,
y 4.5x4.5=?. Sócrates sigue aquí la conocida regla del profesor de matemáticas: los problemas fáciles para el pizarrón, los difíciles se dejan como ejercicio para el estudiante. Una regla humorística que no carece de su principio didáctico: ni al alumno y menos al profesor les conviene enmarañarse en detalles secundarios respecto al objetivo de aprendizaje.
Sócrates: Pero si hay tres pies en esta dirección y tres pies en esta otra, el espacio total será tres veces tres.
Esclavo: Eso es evidente.
Comentario: A estas alturas del diálogo, el esclavo ya habría aprendido el algoritmo (fórmula) para obtener el área de un cuadrado. Y este algoritmo es un subproducto del proceso didáctico elaborado por Sócrates. Afortunadamente a Sócrates nunca lo obligaron a leer a Bloom. ¿Cómo desglosaría, en objetivos, subobjetivos, acciones, etcetera etcetera, un experto contemporáneo en didáctica este fragmento mayéutico? Se deja como penitencia para quien haya pecado de asistematicidad didáctica.
Sócrates: Y ¿cuántos son tres veces tres pies?
Esclavo: Nueve.
Sócrates: Y ¿cuánto es el doble de cuatro?
Esclavo: Ocho.
Sócrates: Entonces la figura de ocho no está formada por una línea de tres.
Esclavo: No.
Comentario: Con las dos preguntas anteriores Sócrates recalca al esclavo que su nueva hipótesis tampoco lleva al resultado deseado. Es decir, le hace ver que su nueva hipótesis (respuesta) es también falsa.
Sócrates: Pero entonces ¿de que línea está formada? --dímelo exactamente; y si tú prefieres no calcular, trata de mostrarme la línea.
Esclavo: La verdad, Sócrates, no lo sé.
Sócrates: ¿Ves, Menón, qué avances ha hecho el esclavo en el camino de la reminiscencia. No sabía al principio cuál era la línea con que se forma el espacio de ocho pies, como no lo sabe ahora; pero antes creía saberlo, y respondió con confianza como si lo supiese; y no creía ser ignorante en este punto. Ahora reconoce su embarazo, y no lo sabe; pero tampoco cree saberlo.
Menón: Dices verdad.
Comentario: ¿Dónde está ese Sócrates para el que dice saber cómo? Nuestro tiempo mexicano lo requiere con urgencia. Sócrates, en este punto del diálogo, distingue dos formas de ignorancia: una es no consciente (al menos no reconocida, ¿dónde la hemos visto, sentido, sufrido?), la otra es ignorancia consciente, reconocida. Y asegura que, en el camino hacia el conocimiento, la segunda es mejor que la primera.
Sócrates: ¿No está ahora en mejor posición, al conocer su ignorancia, respecto de la cosa que él ignoraba?
Menón: Así me lo parece.
Sócrates: Si lo he hecho dudar, y le he aplicado el shock del torpedo, ¿le hemos hecho algún daño?
Menón: Yo pienso que no.
Sócrates: Por el contrario, le hemos ayudado en algún grado, a mi parecer, en el descubrimiento de la verdad; y ahora él deseará remediar su ignorancia, mientras que antes él hubiera dicho con gran desenfado, delante de todo el mundo y creyendo explicarse perfectamente, que el espacio doble debería tener un lado doble.
Menón: Así sería.
Comentario: La superioridad de la segunda forma de ignorancia comentada antes (ignorancia consciente) consistiría entonces en un deseo de remediar la ignorancia, es decir, un deseo de aprender. Algo que suena lógico. Pues no se deseará aprender si no se reconoce la ignorancia. Creo, no obstante, que una cierta pedagogía contemporánea --y sin embargo, tecnocráticamente dominante-- se rasgaría las vestiduras ante este proceder socrático, acusándolo de discriminatorio, de ejercer una cierta "violencia" sobre el alumno. Y, para no contrar, cediendo ante esa "verdad" cuasi-oficial los maestros acaso dirían: "si sabe o no sabe es muy su pedo, yo no me meto en broncas". ¿Que se puede hacer contra el experto que no sabe que no sabe? ¿Cómo puede percatarse el sonámbulo que realmente está dormido? ¿Alguien ha visto a un experto despertarse a mitad de su discurso? ¿Acaso todos somos sonámbulos incluyendo al experto del aquí y ahora del aula de todos los días?
Sócrates: ¿Piensas que él hubiera intentado indagar o aprender lo que creía saber ya, aunque no lo supiese, antes de quedar perplejo ante la idea de que no sabía?
Menón: Yo pienso que no, Sócrates.
Sócrates: ¿El adormecimiento le ha sido pues ventajoso?
Menón: Me parece que sí.
Sócrates: Repara ahora cómo, partiendo de esta duda, va a descubrir la cosa indagando conmigo; aunque no haré más que interrogarle, sin enseñarle nada. Observa bien por si llegas a sorprenderme enseñándole o explicándole algo; en una palabra, haciendo otra cosa que preguntarle lo que piensa. --Tú, esclavo, dime: ¿no es este espacio que he dibujado de cuatro pies?
Esclavo: Sí.
Sócrates: ¿No puede añadírsele este otro espacio que es igual?
Esclavo: Sí.
Sócrates: ¿Y este tercero que es igual a los otros dos
Esclavo: Sí.
Sócrates: Para completar el cuadro, ¿no podremos, en fin, colocar este otro en éste ángulo?
Esclavo: Sin duda.
Sócrates: ¿No resultan así cuatro espacios iguales entre sí?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Pero, ¿qué es todo este espacio, respecto de este otro?
Esclavo: Es cuádruplo.
Sócrates: Pero lo que necesitamos es formar uno doble, ¿no te acuerdas?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Esta línea que va de un ángulo a otro, ¿no es cierto que biseca cada uno de esos espacios?
Comentario: Aquí se puede suponer que Sócrates apela a las apariencias. Porque el esclavo no sabe geometría, ni Sócrates aporta una prueba de bisección. (La recomendación de Polya es que, en el proceso didáctico, las demostraciones no necesitan ser formales, sólo necesitan ser plausibles.) Nota: En la versión de Porrúa dice "corta en dos", pero debe ser "biseca", con el significado más preciso de "corta en dos partes iguales", como lo dice el Plato de los Great Books de la Britannica.
Esclavo: Sí.
Sócrates: ¿No ves aquí cuatro líneas iguales que encierran este espacio?
Esclavo: Así es, Sócrates.
Sócrates: Mira y dime. ¿De cuánto es este espacio?
Esclavo: No entiendo, Sócrates.
Comentario: Hay que reconocer que el esclavo es el alumno ideal: es intelectualmente honesto y ha podido mantener la atención casi una hora. ¡Ánimo Sócrates! El muchacho necesita un andamio. La respuesta ya está cerca. Sólo ayúdale un poquito más.
Sócrates: ¿No es cierto que cada línea interior corta a la mitad los cuatro espacios?
Esclavo: Sí.
Sócrates: Y ¿cuántos semiespacios hay en esta sección?
Esclavo: Cuatro.
Comentario: Sócrates le mostraría aquí al esclavo el cuadrado central formado por las diagonales de los cuatro cuadrados de área 4 yuxtapuestos de forma que se tenga un cuadrado de 4x4. Nótese que esto ya lo había aceptado el esclavo antes. Es común, en el proceso comunicativo, que el oyente del discurso no mantenga toda la información en memoria RAM. Sócrates tendría este plan: 1) la diagonal biseca al cuadrado; 2)el área del cuadrado es cuatro; 3) la mitad de cuatro es dos; 4) el cuadrado formado por las cuatro diagonales está formado por cuatro mitades, es decir, por cuatro veces dos, y el muchacho llegaría finalmente a la demostración.
Sócrates: Y ¿cuántos en ésta?
Esclavo: Dos.
Sócrates: Y ¿cuatro es cuántas veces dos?
Esclavo: Dos veces.
Sócrates: Y este espacio ¿de cuántos pies es?
Esclavo: De ocho pies.
Comentario: Parece ser que Sócrates trata de inducir el razonamiento a través de una regla de tres (2/4=4/x): éste que tiene dos mitades "mide" 4, entonces el central que tiene 4 mitades (el doble de mitades) debe "medir" el doble, es decir, 8. El esclavo, aquí, estaría demostrando (para nosotros, los lectores) que la regla de tres es "natural", o bien que la había aprendido en casa de Menón. Y uno no puede menos que concluir que, o bien la educación de los esclavos en la Antigua Grecia era mejor que la de nuestros universitarios, o bien éstos ya perdieron para siempre su "naturaleza" en los laberintos de nuestro sistema educativo.
Sócrates: Y ¿de qué línea logras esta figura?
Esclavo: De ésta.
Comentario: Se entiende que Sócrates le estaría mostrando el cuadrado formado por las diagonales al esclavo, y éste contesta señalando la diagonal.
Sócrates: Esto es, de la línea que va de esquina a esquina de la figura de 4 pies.
Esclavo: Sí.
Comentario: Sócrates redondea: hace explícita con sus propias palabras la conclusión. Una regla didáctica que también recomienda Geoge Polya. Lástima que no sea factible con nuestros estudiantes quienes a estas alturas del diálogo ya hubieran dejado a Sócrates hablando solo.
Sócrates: Y esta es la línea que los geómetras llaman la diagonal. Y si este es el nombre apropiado, entonces tú, esclavo de Menón, ¿estás preparado para afirmar que el espacio doble es el cuadrado de la diagonal?
Esclavo: Ciertamente, Sócrates.
COMENTARIO FINAL AL TEXTO
Con esta larguísima demostración, Sócrates aporta también un método de construcción con regla y compás para el cuadrado doble: 1)formar un cuadrado cuádruple (yuxtaponiendo cuatro cuadrados de área A) y 2) trazar las diagonales de los cuatro cuadrados que lo forman. [El cuadrado formado por las diagonales trazadas en 2) tiene 2A de área.]
Mediante la simbología y las reglas del álgebra elementales que los estudiantes ya deberían dominar al salir de la secundaria, la demostración de Sócrates podría resumirse como sigue:
1) A=l2
2) 2A=?
3) Primera hipótesis del esclavo: 2A=(2l)2.
4) Refutación de Sócrates (vía un feedback didáctico): pero, (2l)2=4l2=4A, exhibiendo una contradicción y obligando al esclavo a abandonar su primera hipótesis.
5) Andamio para el esclavo (construido por Sócrates): si l da A y 2l da 4A, ¿entonces?... y el esclavo es conducido por Sócrates a concluir que la línea x buscada está entre l y 2l.
6) Segunda hipótesis del esclavo: 2A=[(3/2)l]2, es decir, x=(3/2)l.
7) Feedback de Sócrates: pero [(3/2)l]2=(9/4)l2=(9/4)A>2A, exhibiendo de nuevo una contradicción y obligando al esclavo a confesar su ignorancia.
8) A partir de aquí, Sócrates conduce al esclavo a aceptar que 4(A/2)=2A mediante el cuadrado cuádruple y las diagonales, y de paso a aceptar que la línea del cuadrado doble es la diagonal del cuadrado simple. Es decir, x=(2)1/2l, en lenguaje algebraico.
Fuente: Centro de Investigación en Matemáticas, A. P. 402, Guanajuato, Gto., C.P. 36000, M E X I C O
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